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Objetivos específicos: este curso aborda noções topológicas no ambiente ligeiramente mais restritivo de um espaço onde existe uma noção de distância bem-definida. A existência de uma métrica garante a esse tipo de espaços um comportamento mais intuitivo, e permite evitar muitas das tecnicalidades e exemplos exóticos da Topologia Geral, que podem distrair o estudante num primeiro contato com o assunto. Isso faz do curso de Topologia dos Espaços Métricos um momento propício para que o estudante domine a noção de continuidade (e suas variações), de importância central na Matemática e nas ciências naturais. Espaços métricos são encontrados em toda a Matemática e este curso não só serve como uma porta de entrada à Topologia, como também pode fornecer um primeiro contato, por meio de exemplos e aplicações, com os objetos e os métodos de áreas diversas como Análise Funcional, Sistemas Dinâmicos, Equações Diferenciais e Física Matemática. Espera-se que o estudante ao longo deste curso extrapole sua familiaridade com a noção de distância euclideana (presente nos cursos mais básicos de Cálculo, Geometria Analítica e Álgebra Linear) para espaços mais abstratos (p.ex., espaços de funções e espaços de conjuntos), ao mesmo tempo em que reconhece que certos resultados devidos a estruturas como produtos escalares e normas não se aplicam da mesma forma em contextos mais gerais. Espera-se que o estudante ao fim do curso esteja preparado para lidar com funções e equações diferenciais sob um ponto de vista mais geométrico que algébrico. 

Ementa: Espaços métricos. Funções contínuas. Homeomorfismos. Métricas equivalentes. Espaços topológicos. Limite. Conexidade. Continuidade uniforme. Espaços métricos completos. Espaços métricos compactos.

1) LIMA, E. L., Espaços métricos. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1977.  2) DOMINGUES, H. H., Espaços métricos e introdução a topologia. São Paulo: Atual, 1982.  3) BRYANT, V., Metric spaces: iteration and application. Cambridge: Cambridge University Press, 1985. 

1) HÖNIG, C. S., Aplicações da Topologia à Análise, IMPA, Rio de Janeiro, 1976. (Projeto Euclides)  2) ROSA NETO, E., Espaços métricos. São Paulo: Nobel, 1973.  3) MUNKRES, J. R., Topology: a first course. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1975.  4) LIMA, E. L., Elementos de topologia geral. Rio de Janeiro: IMPA, 1969.  5) SVETLICHNY, G. Notas de Topologia Geral. Textos de Matemática, IMPA. Rio de janeiro, 1974. (disponível online em http://www.mat.puc-rio.br/~svetlich/files/notas.pdf )