1. Integrabilidade em mecânica clássica
Discussão do teorema de Liouville e das variáveis de ângulo e ação.
2. Exemplos de sistemas dinâmicos
Análise do problema de Kepler, do oscilador harmônico, do pêndulo, e dopi ̃ao de Euler.
3. Representação de Lax
Construção dos pares de Lax para sistemas mecânicos.
4. O formalismo lagrangiano para campos: o teorema de Noether e teorias com campo escalar
Utilização do problema de massas acopladas linearmente para a definição do formalismo lagrangiano para sistemas contínuos. Interpretação do campo escalar. O teorema de Noether e aplicações no caso de teorias de campos escalares.
5. A descoberta das ondas solitárias: a observação de Russell
Equações de onda, princípio de superposição, efeitos de dispersão, dissipação e não linearidades. Exemplos abordados: equação de Schrodinger, equação de D’Alembert, equação de Klein-Gordon, equação de Burgers.
6. O problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou, a equação de KdV, solução de onda solitária, problema de Schrdinger associado e o método de Hirota para a construção de solitons
Apresentação do artigo de Fermi e colaboradores e discussão dos resultados. O limite contínuo do sistema de massas interagentes e a equação KdV. Discussão dos resultados obtidos por Zabusky e Kruskal à luz da interpretação do papel de cada um dos termos da equação KdV: dispersão e não linearidade. Interpretação da equação usando analogia mecânica de uma partícula sob ação de um potencial: condições para solução localizada. Obtenção da solução de 1-soliton por meio de integração direta. Construção do método da função tau e operadores bilineares. Obtenção da solução de 2-soliton. A solução de KdV como problema de equação de Schrodinger inverso.
7. Estudo de uma cadeia de pêndulos interagentes, o limite contínuo, o conceito de campo e a equação de sine-Gordon
Construção das equações para uma cadeia de pêndulos acoplados: obtenção da equação de movimento no limite contínuo desse sistema (equação de sine-Gordon). Construção da solução da equação por integração direta e comparação com o caso para pequenas oscilações.
8. Potenciais com múltiplos vácuos, o teorema de Derrick, a equação BPS e sólitons topológicos em 1 + 1 dimensões Discussão do modelo φ4 e do modelo de sine-Gordon: definição dos modelos, exemplos de aplicações físicas, condições de contorno e propriedades topológicas, construção das soluções de kink e anti-kink do modelo φ4, interpretação de partícula das soluções de ambos os modelos.
9. Cálculo da força de interação entre kinks e a aproximação em coordenadas coletivas
Construção de sistemas com múltiplas soluções: estudo do caso kink/anti-kink nos modelos phi4 e sine-Gordon. Cálculo da força entre kink e anti-kink.
10. Espalhamento de solitons no modelo de sine-Gordon: solu ̧c ̃oes de multisolitons
Construção de soluções de 2-soliton: os métodos de Hirota e de Backlund. Interpretação das colisões, cálculo do time delay.
11. Representação de curvatura nula e simetrias escondidas
Breve revisão/introdução à álgebras de Lie. Construção da equação de curvatura nula para o modelo de sine-Gordon e obtenção das cargas conservadas via abelianização.
